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    中考数学高频考题解题技巧--探究性、推理验证题解题技巧

    作者:学易管理员 时间:2013-04-18 11:39
    (2012年山西25题12分)问题情境:
           将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图①所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB, ∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC与点M,DE⊥BC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由。
    探究展示:
    小宇同学展示出如下正确的解法:
          解:OM=ON.证明如下:
          连接CO,则CO是AB边上的中线。
          ∵CA=CB, ∴CO是∠ACB的角平分线。(依据1)
          ∵OM⊥AC,ON⊥BC, ∴OM=ON.(依据2) 
    反思交流:
    (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:
    依据1:
    依据2:
    (2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程。 
    拓展延伸:
    (3)将图①中的Rt△DFE沿着射线BA的方向平移至如图②所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直交与点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N连接OM,ON,试判断线段OM,ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程。

    解题指导
    1、考点:
          全等三角形的判定与性质
          角平分线的性质
          等腰三角形的性质
          矩形的判定与性质
    2、解法:
          三角形中证明两条线段相等的方法
    (1)通过证明三角形全等得出线段相等
    (2)利用角平分线或垂直平分线的性质得出线段相等
    特别说明:等腰三角形中常用辅助线的作法。
    平移旋转类题的解题技巧
    (1)所证明结论与前面一致。
    (2)证明思路与前面相似。
    解题步骤:
    (1)解:等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)
             角平分线的性质(或角平分线上的点到角的两边距离相等)
    (2)证明:∵CA=CB,∴∠A=∠B
                        ∵O是AB的中点,∴OA=OB
                        ∵DF⊥AC,DE⊥BC, ∴∠AMO=∠BNO=90°
                        ∴△OMA≌△ONB(AAS)
                        ∴OM=ON
    (3)证明:连接CO,则CO是AB边上的的中线。
    ∵∠ACB=90°∴OC=½AB=OA
    又∵CA=CB, ∴∠CAB=∠B=45°, ∠ACO=∠OCB=45°
    ∠AOC=∠BOC=90°∴∠OCB=∠CAB=45°
    ∴∠OCN=∠OAM=135°
    ∵FM⊥MC       ∴∠DMC=90°
    ∵∠MAD=∠CAB=45°       ∴∠MDA=45°
    ∴∠MDA=∠MAD              ∴DM=AM
    ∴∠ACB=90°, ∴∠NCM=90°
    ∵BN⊥DE, ∴∠DNC=90°
    ∴四边形DMCN是矩形。
    ∴DM=CN, ∴AM=CN
    ∴△OAM≌△OCN(SAS).
    ∴OM=ON, ∠MOA=∠NOC
    ∵∠AOC=90°,即∠MOA+∠AON=90°
    ∴OM⊥ON
    点评:
            猜想证明题是山西中考25题不变的考查主题,通常是结合图形的平移或旋转来考查三角形全等的知识,进而探索某线段间的数量或位置关系。
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